古诺模型

Cournot duopoly model

古诺模型是一个静态博弈，局中人同时决策，即博弈只有一阶段

甲、乙互不知道对方的先前产量

甲、乙地位平等

商品的价格

P=a-bQ=8-(q_1+q_2)

生产者的利润

\pi_i=q_i P-q_ic_i

甲、乙的利润 $\pi_1$ 和 $\pi_2$ 为

\begin{cases} \pi_1=q_1 [8-(q_1+q_2)]-q_1c\rightarrow q_18-q_1^2-q_1q_2-q_1c\\ \pi_2=q_2 [8-(q_1+q_2)]-q_2c\rightarrow q_28-q_2^2-q_1q_2-q_2c\\ \end{cases}

寻找纳什均衡

\frac{\partial \pi_1}{q_1}=0,\frac{\partial\pi_2}{q_2}=0\\ \downarrow\\ \begin{cases} 8-2q_1-q_2-c=0\\ 8-2q_2-q_1-c=0 \end{cases}\\ \downarrow\\ \begin{cases} q_1=\frac{8-c}{3}\\ q_2=\frac{8-c}{3} \end{cases}

因此， $(q_1^*,q_2^*)=(\frac{8-c}{3},\frac{8-c}{3})$ 是一个纳什均衡。

在此纳什均衡上，求甲、乙的利润

\pi_1=\pi_2=\frac{(8-c)^2}{9}

甲、乙的总利润为

\pi=\pi_1+\pi_2=\frac{2(8-c)^2}{9}

不考虑博弈的情况下，甲、乙的总利润为

\pi_o=Q P(Q)-Qc=Q(8-Q)-Qc=-Q^2+Q(8-c)\\ \downarrow\\ \frac{\partial \pi_o}{\partial Q}=0\rightarrow -2Q+(8-c)=0\rightarrow Q=\frac{8-c}{2}\\ \downarrow\\ \pi_o^*=\frac{(8-c)^2}{4}

不难发现，从两个厂商总体利益最大化角度进行统一的产量选择时，总产量较小，而总利润却较高。

因此，甲、乙应该选择合作。但是在缺乏强制性协议保障的情况下，由于最优决策不是纳什均衡，因此两个厂商都会悄悄增产。

斯塔克尔伯格模型

Stackelberg model

动态博弈：两个厂商并不是同时决策，而是一方先决策，另一方根据对方的决策，再作出决策，即博弈有两个阶段

后做决策的博弈方，知道先做决策的博弈方的决策

两个厂商中，一个寡头厂商是处于支配地位的领导者，另一个是寡头厂商的追随者，即两个厂商在市场上是不对称的竞争。

甲、乙的利润 $\pi_1$ 和 $\pi_2$ 为

\begin{cases} \pi_1=q_1 [8-(q_1+q_2)]-q_1c\rightarrow q_18-q_1^2-q_1q_2-q_1c\\ \pi_2=q_2 [8-(q_1+q_2)]-q_2c\rightarrow q_28-q_2^2-q_1q_2-q_2c\\ \end{cases}

用逆推归纳法求子博弈完美纳什均衡

先分析乙的决策，此时甲的决策 $q_1$ 已经决定且乙知道。对于乙来说，要在 $q_1$ 的情况下决定 $q_2$ 使得 $\pi_2$ 最大化

\frac{\partial \pi_2}{\partial q_2}=8-2q_2-q_1-c=0\\ \downarrow\\ q_2^*=\frac{8-q_1-c}{2}

甲知道乙的决策思路，在决定 $q_1$ 时就知道 $q_2^*$

\pi_1=q_18-q_1^2-q_1\frac{8-q_1-c}{2}-q_1c=-\frac12q_1^2+(4-\frac c2)q_1

这说明，甲身为领导者（先做决策的一方），在考虑乙的反应后，可以控制自己的收益 $\pi_1$ ；而乙身为追随者，需要根据领导者的决策而决定自己的决策。在斯塔克尔伯格模型中，领导者得决策不需要自己的反应函数

\frac{\partial \pi_1}{\partial q_1}=-q_1+4-\frac c2=0\\ \downarrow\\ q_1^*=4-\frac c2

得到 $q_1^*$ 即可推出

q_2^*=2-\frac{c}{4}

此时的市场总共计量

Q=q_1^*+q_2^*=6-\frac{3}{4}c

市场价格

P=8-Q=2+\frac34c

甲的利润为

\pi_1=q_1P-q_1c=q_1(2+\frac34c)-q_1c=q_1(2-\frac14c)=\frac12(4-\frac c2)^2=\frac{(8-c)^2}{8}

乙的利润为

\pi_2=q_2P-q_2c=q_2(2+\frac34c)-q_2c=q_2(2-\frac14c)=\frac{(8-c)^2}{16}

甲、乙的总利润为

\pi=\pi_1+\pi_2=\frac{3(8-c)^2}{16}

斯斯塔克尔伯格模型的产量大于古诺模型，价格低于古诺模型，总得益（甲、乙得益之和）小于古诺模型，但甲的得益大于古诺模型甲、乙的总得益，这反映了两个厂商之间地位不对称性的影响。